“柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨，在经过了许多数学家的不断努力之后,终于由法国数学家Cauchy获得了完善的结果。
柯西数列的定义是什么?
柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。
定理叙述：
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立
此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。
证明举例：
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+
[(-1)^(n+1)]/n
有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=|
[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
|
当m-n为奇数时
|xn-xm|=|
[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
|
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时
|xn-xm|=|
[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
|
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
第五题先问下什么是CAUHTY数数列，然后帮我证明下这两题
5、Cauchy列也叫基本列，数列是Cauchy列的充分必要条件是这个数列是收敛列，这就是Cauchy收敛原理。
证明：若f(x)将 Cauchy列映为Cauchy列，但f(x)不一致连续。由不一致连续的定义，存在e0>0，和【a，b】的两个点列{xn}和{yn}，尽管|xn－yn|<1/n，但|f(xn)－f(yn)|>=e0。
{xn}有界，因此存在收敛子列{xkn}，设lim x(kn)＝c，则显然lim y(kn)＝c。
定义zn为如下数列：xk1，yk1，xk2，yk2，...，即z(2n－1)＝xkn，z(2n)＝ykn，
于是{zn}收敛，{zn}是Cauchy列，但|f(z(2n－1))－f(z(2n))|>=e0，{f(zn)}不是Cauchy列，矛盾。
反之，若f(x)一致连续。{xn}是Cauchy列，则lim xn＝c存在，且显然a<=c<=b，于是
lim f(xn)＝f(c)，即{f(xn)}是收敛的，也是Cauchy列，f(x)将Cauchy列映为Cauchy列。
2、显然有0<=e^(－nx)/(1+n^2)<=1/(1+n^2)，于是由Weierstrass判别法知道函数项级数一致收敛，故f(x)连续。
任取有界闭区间[a，b]，其中0<a<b，考虑级数(n＝1到无穷)－ne^(－nx)/(1+n^2)，
此时有0<=|－ne^(－nx)/(1+n^2)|<=ne^(－na)/(1+n^2)<=e^(－na)，a<=x<=b。
而级数(n＝1到无穷)e^(－na)收敛，Weierstrass判别法知道
级数(n＝1到无穷)－ne^(－nx)/(1+n^2)在[a,b]上一致收敛，故f(x)在[a,b]上连续可微，
且f'(x)＝级数(n＝1到无穷)－ne^(－nx)/(1+n^2)。由[a，b]的任意性知道f(x)在(0，正无穷)
上连续可微，且有f'(x)＝级数(n＝1到无穷)－ne^(－nx)/(1+n^2)，x>0。
cauchy收敛原理
Cauchy收敛原理：
基本数列定义：
如果数列{xn}具有以下特性：对于任意给定的ε＞0，存在正整数N，当n，m＞N时，有：
|xn-xm|＜ε
则称数列{xn}是一个基本数列。
Cauchy收敛原理：数列{xn}收敛的充分必要。条件是：{xn}是基本数列。
Cauchy收敛原理表明，由实数构成的基本数列{xn}必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性。值得注意的是，有理数集不具有完备性。
实数系基本定理
确界存在定理→单调有界数列收敛定理→闭区间套定理→Bolzano-Weierstrass定理→Cauchy收敛原理
也就说明：实数系的连续性包含了实数系的完备性。可以证明，实数系的完备性也包含了实数系的连续性。
也就是说：定理：实数系的完备性等价于实数系的连续性。
以上五个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发都可以推断出其他的定理。所以，这五个定理中的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
Cauchy收敛原理的应用
请问柯西收敛数列是怎么来的？
具体回答如下：
lim(x趋向于0+）x^tanx
=e^lim(x趋向于0+）lnx^tanx
=e^lim(x趋向于0+）lnx*tanx
=e^lim(x趋向于0+）lnx/cotx (∞/∞)
=e^lim(x趋向于0+）(1/x)/(-csc^2x)
=e^lim(x趋向于0+）-sinx
=e^0
=1
极限函数的意义：
在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a。
设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的，即为充分必要条件。
与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
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