把A拆分为几个非空子集的并集A=A1∪A2∪...∪Am，那么S={A1,A2,...,Am}称为集合A的一个覆盖。A的划分是在覆盖的基础上，还要求任意两个子集的交集是空集。比如A={a,b,c,d}，那么S1={{a},{a,b},{a,b,c},{d}}是A的覆盖，但不是划分。S={{a,b},{c,d}}是A的覆盖，也是划分。划分必是覆盖，覆盖未必是划分。覆盖与划分都不是唯一的。
离散数学划分和覆盖的区别
把A拆分为几个非空子集A1,A2,...,Am的并集A=A1∪A2∪...∪Am，那么S={A1,A2,...,Am}称为集合A的一个覆盖。A的划分是在覆盖的基础上，还要求任意两个子集的交集是空集。
比如A={a,b,c,d}，陪圆那么S1={{a},{a,b},{a,b,c},{d}}是A的覆盖，但不是划分。S={{a,b},{c,d}}是A的覆盖，也是划分。
划分必是覆盖，覆盖未必是划分链郑。
覆棚乱颂盖与划分都不是唯一的。
什么是离散数学中的“覆盖关系”“全序关系”“拟序关系”“偏序关系”？
形式定义：
设R是集合A上的一个二元晌世关系，若R满足：
Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；
Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。
则称R为A上的偏序关系，通常记作≼。注意这里的≼不必是指一般意义上的“小于或等于”。
若然有x≼y，我们也说x排在y前面（x precedes y）。
举例解释:
对于上述提到的自反性和传递性的举例解释:
集合A={a,b,c...}上的关系R是自反 指的是R有(a,a),(b,b),(c,c)...
R是传递，指若有(a,b)和(b,c), 则必有(a,c).
偏序（Partial Order）的概念：
设A是一个非空集，P是A上的一个关系，若P满足下列条件：
Ⅰ 对任意的a∈A，（a,a）∈P(自反性 reflexlve）
Ⅱ 若（a,b）∈P，且（b,a）∈P，则 a=b（反对称性，anti-symmentric）
Ⅲ 若（a,b）∈P，（b,c）∈P，则（a,c）∈P（传递性，transitive）
则称P是A上的一个偏序关系。
若P是A上的一个偏序关系，我们用a≤b来表示（a,b）∈P。
整除关系便是一个定义在自然数上的一个偏序关系|，3|6的含义是3整除6。大于或等于也是定义在自然数集上的一个偏序关系。
设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)
a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)
配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、线序集合（linearly ordered set）、简单序集合（simply ordered set）或链（chain）。链还常用来描述某个偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。
关系的完全性可以如下这样描述：对于集合中的任何一对元素，在这个关系下都是相互可比较的。
注意完全性条件蕴涵了自反性，也就是说，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反对称的和传递的二元关系）。全序也可以定义为“全部”的偏序，就是满足“完全性”条件的偏序。
可作为选择的，可以定义全序集合为特殊种类的格，它对于集合中的所有 a, b 有如下性质：
我们规定 a ≤ b 当且仅当。可以证明全序集合是分配格。
全序集合形成了偏序集合的范畴的全子范畴，通过是关于这些次序的映射的态射，比如，映射 f 使得"如果 a ≤ b 则 f(a) ≤ f(b)"。
在两个全序集合间的关于两个次序的双射是在这个范畴内的同构。
严格全序
对于每个(非严格)全序 ≤ 都有一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <，它可以等价地以两种方式定义：
a <b 当且仅当 a ≤ b 且 a ≠ b
a <b 当且仅当 ¬(b ≤ a) (就是说 >是 ≤ 的补关系的逆关系)
性质：
关系是传递的： a <b 且 b <c 蕴涵 a <c。
关系是三分的： a <b, b <a 和 a = b 中有且只有一个是真的。
关系是严格弱序，这里关联的等价是等同性。
我们可以其他方式工作，选择 <为三分的二元关系；则全序 ≤ 可等价地以两种方式来定义:
a ≤ b 当旁谨巧且仅当 a <b 或 a = b
a ≤ b 当且仅当 ¬(b <a)
还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >，它们构成了四元组 {<, >, ≤, ≥}。
我们可以通过这四个关系中的任何一个，定义或解释集合全序的方式；由符号易知所谈论的是非严格的，抑或运键是严格全序。
例子
字母表的字母按标准字典次序排序，比如 A <B <C 等等。
把一个全序限制到其全序集合的一个子集上。
所有的两个元素都是可比较的任何偏序集合 X (就是说，如果 a,b 是 X 的成员，则 a≤b 或 b≤a 中的一个为真或二者都为真)。
由基数或序数(实际上是良序)组成的任何集合。
如果 X 是任何集合，而 f 是从 X 到一个全序集合的单射函数，则 f 诱导出 X 上的一个全序：规定 x1 <x2 当且仅当 f(x1) <f(x2)。
设有某个集族，其成员都是用序数为索引的全序集合，然後把这集族上取的笛卡尔积中的有序对按字典序排序，那麽，这字典序是一全序。例如，若有一个集合由一些词语组成，按字母表把词语排序的话会是一全序。举个实例，我们规定"bird"先於"cat"。这可视为是向字母表加入空格符号""（定义""先于所有字母），得到集合A，然後对其自身取可数次笛卡尔积，得到Aω。"bird"可理解为Aω里的序对("b","i","r","d","","",...)，"cat"则是("c","a","t","","","",...)。从而{"bird","cat"}成为Aω的一个子集，把Aω上的字典序限制到这字集，便得出"bird"<"cat"。
实数集和自然数集、整数集、有理数集（作为实数集的子集），用平常的小于(<)或大于(>)关系排序都是（严格）全序的。它们都可以被证明是带有特定性质的全序集合的唯一的（在同构意义下的）最小实例（一个全序 A 被称为是带有特定性质的最小全序，即意味着只要别的全序 B 有这个性质，就有从 A 到 B 的子集的一个序同构)：
自然数集是最小的没有上界的全序集合。
整数集是最小的没有上界也没有下界的全序集合。
有理数集是最小的在实数集内稠密的全序集合，这里的稠密性是指对于任意实数a, b，都存在有理数q使得a<q<b。
实数集是最小的无界连通（序拓扑的意义下）的全序集合。
离散数学关于覆盖划分的题
证明
注意到
{A1,
A2,
...,
.AK}
是
A
的一个划分必汪漏如须满足两个条件：
1）∪Ai
=
A；
2）Ai∩Aj
=
Φ
(i≠困启j)。
1）是明显的。下面证明2）：
若有i,
j，使
Ai∩Aj
≠
Φ，即有
a
含于
Ai∩Aj
中，搜搏故对任意
b∈Ai，因
a∈Ai，应有∈R，但
a∈Aj，得知也应有b∈Aj，因而
Ai
包含于
Aj，与题设矛盾。得证。
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